José Luis Romero Béjar, Departamento de Estadística e Investigación Operativa (https://www.ugr.es/personal/jose-luis-romero-bejar).
Francisco Javier Esquivel Sánchez, Departamento de Estadística e Investigación Operativa (https://www.ugr.es/personal/francisco-javier-esquivel-sanchez ).
Complemento de profundización.
Herramientas informáticas
Iniciación a la investigación.
A lo largo de las últimas tres décadas se ha llevado a cabo el desarrollo de toda una teoría de medidas de riesgo, que de hecho se ha convertido en una nueva disciplina científica, principalmente motivada e impulsada por áreas de aplicación tales como Finanzas y Seguros, aunque con un creciente interés en otras muchas áreas del conocimiento debido a su potencial aplicabilidad. Entre la diversidad de familias de medidas de riesgo introducidas en estos ámbitos, las medidas de riesgo basadas en cuantiles tales como el Valor en Riesgo o Value-at- Risk (VaR) y el Déficit Esperado o Average Value-at-Risk (AVaR) han recibido especial atención dado lo directo de su interpretación y fácil implementación computacional, además del cumplimiento de ciertos axiomas con interpretaciones significativas en este contexto.
Dado su origen, eminentemente financiero, esta teoría ha estado centrada principalmente en el análisis de riesgos de variables aleatorias que representan ganancias o pérdidas monetarias, para las que las características espaciales donde se producen estas pérdidas o ganancias no necesitan ser tenidas en cuenta. En los últimos tiempos hay un creciente interés en el desarrollo de una teoría fundamentada de medidas de riesgo espaciales que permita aplicaciones en campos tan diversos como el del medioambiente, la geoestadística, ciencias ómicas, etc. Entre los distintos enfoques en la literatura para abordar este problema destacan aquellos que hacen interactuar la teoría de medidas de riesgo con el análisis de características estructurales de conjuntos de excursión de campos aleatorios, en los que la teoría de valores extremos juega un rol fundamental en determinados contextos. Si bien, desde un punto de vista computacional esta interacción es posible y funciona de forma adecuada para la valoración de riesgos tanto en un sentido global como local, con un mapeo local del riesgo, uno de los grandes desafíos en este sentido es la definición formal de riesgo en un dominio espacial, así como la derivación de una axiomática adecuada al contexto en que se sitúa el problema bajo estudio.
Muchos fenómenos físicos que se estudian en disciplinas como las ciencias ambientales, la hidrología o la epidemiología presentan un comportamiento que varía en el espacio y el tiempo. Para describir esta dinámica de manera adecuada, resulta especialmente útil el uso de modelos basados en campos aleatorios. Estos modelos permiten capturar y analizar cómo se relacionan los valores de una variable en distintas ubicaciones y momentos, revelando así patrones de dependencia espacial o temporal en los datos. Dentro de este ámbito, la geoestadística se ha consolidado como una rama específica de la estadística que se ocupa del estudio y modelización de fenómenos con una clara dimensión espacial. Su objetivo es analizar la variabilidad de una característica medida en distintas localizaciones geográficas, aprovechando la información sobre las coordenadas de los puntos de observación para hacer predicciones y mapas de riesgo o distribución. Además, en muchos casos es fundamental estudiar los comportamientos extremos de estos fenómenos, es decir, eventos poco frecuentes, pero de gran impacto, como inundaciones, sequías o brotes epidémicos intensos.
Este trabajo propone que el estudiante se adentre en los principales desafíos y enfoques metodológicos que plantea la geoestadística, comenzando con una introducción general al campo y una revisión de los aspectos formales de las técnicas más consolidadas en la literatura. A lo largo del estudio, se espera que analice en profundidad distintos tipos de procesos espaciales —como los procesos geoestadísticos clásicos, los procesos regionalizados y los procesos puntuales—, integrando además la perspectiva del análisis de riesgos extremos mediante medidas específicas, con el objetivo de construir una visión clara, actual y fundamentada tanto de los aspectos teóricos como de las herramientas prácticas que permiten implementar y aplicar estos modelos en contextos reales.
Actividades que desarrollar
Revisión bibliográfica exhaustiva sobre campos aleatorios y geoestadística, identificando las principales metodologías y enfoques utilizados en la literatura, con especial referencia a su estado actual, y exposición sintética del conocimiento desde una perspectiva global.
Selección de los distintos tipos de procesos espaciales más relevantes y aplicables en la en la práctica.
Profundización en uno o varios de ellos con una clara identificación de los elementos conceptuales inherentes, y exposición de sus fundamentos matemáticos y aspectos metodológicos.
Realización de experimentos y simulaciones mediante el uso y desarrollo eventual de procedimientos computacionales con R.
La gestión del riesgo se ha convertido en un componente esencial del análisis cuantitativo en disciplinas como las finanzas, la estadística aplicada y la física de sistemas complejos. En entornos marcados por la incertidumbre y la presencia de eventos extremos, la simple estimación de promedios o desviaciones estándar resulta insuficiente. Es en este contexto donde la Gestión Cuantitativa del Riesgo (Quantitative Risk Management, QRM) surge como una disciplina clave, proporcionando un marco matemático riguroso para la identificación, cuantificación y control de riesgos. Uno de los pilares fundamentales de QRM es el concepto de medida del riesgo, que permite traducir incertidumbre en variables cuantificables mediante funciones matemáticas que capturan el comportamiento adverso de distribuciones de probabilidad. Entre las medidas más utilizadas se encuentran el Valor en Riesgo (VaR) y el Valor en Riesgo Condicional (CVaR), que permiten estimar el impacto potencial de eventos financieros extremos. Sin embargo, estas medidas tienen limitaciones teóricas y prácticas que requieren enfoques más sofisticados, como las medidas coherentes de riesgo y el uso de herramientas de la Teoría de Valores Extremos (EVT). Por otro lado, la presencia de eventos extremos no es exclusiva del ámbito financiero. En la física, por ejemplo, especialmente en áreas como la teoría del caos, la mecánica estadística y los sistemas complejos, también se observan fenómenos de baja probabilidad, pero gran impacto. Ejemplos incluyen fluctuaciones críticas en sistemas termodinámicos, turbulencias en dinámica de fluidos, o eventos extremos en redes naturales o artificiales. Estos paralelismos permiten aplicar las mismas herramientas de análisis del riesgo —como EVT, simulaciones Monte Carlo y modelos estocásticos—en ambos dominios, enriqueciendo así la comprensión multidisciplinar del riesgo. Este Trabajo de Fin de Grado se propone estudiar de manera rigurosa y aplicada los conceptos fundamentales de la teoría de medida del riesgo, haciendo énfasis en su implementación cuantitativa dentro del enfoque del QRM. A través de análisis matemático, simulaciones numéricas y estudios empíricos, se evaluará la eficacia de distintas metodologías en contextos financieros y físicos, con especial atención al comportamiento de las colas de distribución y a la modelización de eventos raros. La naturaleza aplicada del trabajo permitirá no solo un desarrollo teórico sólido, sino también una conexión directa con problemas reales, desde la gestión de carteras hasta el estudio de eventos críticos en sistemas naturales.
Actividades que desarrollar
Comprender e identificar los principios conceptuales clave que definen el concepto de medida de riesgo, así como su formalización rigurosa dentro del marco matemático.
Analizar en profundidad los fundamentos matemáticos que sustentan las metodologías de valoración del riesgo utilizadas en contextos financieros, evaluando también su adaptabilidad y aplicación a otros sistemas complejos.
Estudiar las principales medidas de riesgo utilizadas en QRM: VaR, CVaR, medidas coherentes de riesgo.
Analizar la Teoría de Valores Extremos y su aplicabilidad a series temporales financieras.
Aplicar modelos QRM a datos reales financieros (acciones, índices, tipos de interés) y comparar resultados bajo distintos supuestos.
Este trabajo se centrará en el estudio profundo de dos ramas avanzadas de la probabilidad y la estadística: la teoría de valores extremos y el modelado mediante campos aleatorios. Ambas se presentan como herramientas esenciales para comprender y cuantificar eventos raros, pero de alto impacto, especialmente cuando dichos eventos están distribuidos en el espacio o el tiempo. Desde el punto de vista teórico, se desarrollará una revisión y posterior implementación del marco clásico de la teoría de valores extremos, tanto en su versión univariada como en su extensión al caso multivariante y espacial. Se abordarán formalmente los principales resultados asintóticos que justifican el uso de las distribuciones generalizadas de valores extremos (GEV) y la distribución generalizada de Pareto (GPD), así como los métodos de estimación más habituales, incluyendo la técnica de máximos por bloques y el enfoque de excedencias de umbrales. Una parte esencial del análisis será la evaluación de cuantiles extremos y niveles de retorno, que permiten una interpretación clara en contextos aplicados. Simultáneamente, se estudiarán los campos aleatorios como herramientas para representar variables aleatorias distribuidas en el espacio. Se pondrá especial atención en los campos gaussianos y en cómo su estructura de covarianza permite modelar dependencias espaciales. Se explorarán también campos no gaussianos y modelos extremos espaciales, en los que la dependencia entre extremos no se comporta de forma lineal. La interacción entre estos dos marcos —valores extremos y campos aleatorios— permitirá construir modelos que no solo caractericen la magnitud de eventos extremos, sino también su distribución geográfica y correlación espacial. De forma opcional, todo este enfoque se complementará con el estudio de medidas de riesgo, como el Value-at-Risk (VaR) o el Expected Shortfall (ES), adaptadas al contexto de fenómenos espaciales. Estas medidas permitirán cuantificar el impacto esperado de eventos extremos bajo distintos niveles de severidad, y evaluar el riesgo agregado sobre una región o sistema.
Actividades que desarrollar
Revisión bibliográfica sobre conceptos, elementos y técnicas relacionadas con el análisis de valores extremos.
Revisión bibliográfica sobre conceptos, elementos y técnicas relacionadas con la teoría de campos aleatorios.
Profundización en las distintas metodologías y estrategias inherentes al análisis de valores extremos.
Profundización en los aspectos formales de la teoría de campos aleatorios.
Ilustración con datos reales del uso de algunas de las metodologías/estrategias y desarrollo de procedimientos computacionales relacionados.
Este trabajo se enmarca en el estudio y aplicación de técnicas estadísticas avanzadas, principalmente desde la estadística multivariante y la estadística espacial, con el fin de analizar la estructura y distribución de datos genómicos complejos. Desde la perspectiva matemática, el objetivo principal será caracterizar la variabilidad y la organización espacial de los datos de expresión génica obtenidos mediante transcriptómica espacial, una tecnología emergente que permite medir la actividad de genes conservando la información sobre la localización física de cada observación dentro del tejido biológico. En primer lugar, se abordará el análisis mediante técnicas multivariantes como el Análisis de Componentes Principales (PCA) adaptado al contexto espacial. Se considerará la versión espacial del PCA (sPCA), que permite tener en cuenta la correlación geográfica de la expresión génica y ayuda a detectar patrones espaciales de variabilidad en los datos. Esta técnica facilitará la reducción de la dimensionalidad, preservando las estructuras espaciales más relevantes. Posteriormente, se incorporará el análisis de clúster espacial para identificar regiones dentro del tejido que compartan perfiles de expresión similares, lo que puede reflejar organización funcional, identidad celular o procesos biológicos subyacentes. Se utilizarán métodos como k-means espacialmente ponderado o clustering jerárquico con restricción geográfica, y se analizará la estabilidad y la interpretabilidad biológica de los resultados. Además, se explorará el uso del kriging como técnica geoestadística para interpolar y visualizar niveles de expresión génica en regiones no muestreadas del tejido, permitiendo una representación continua del fenómeno biológico y facilitando su análisis global. A lo largo del trabajo se discutirán los fundamentos matemáticos de estas técnicas, su aplicabilidad en datos de alta dimensión y su comportamiento en presencia de ruido, correlación espacial y otras características propias de los datos genómicos. Desde una perspectiva más computacional, el trabajo se centrará en la implementación y automatización del flujo completo de análisis espacial de datos genómicos utilizando herramientas computacionales y entornos de programación científica. Se utilizarán Python y/o Lenguaje R como lenguaje base, haciendo uso de bibliotecas especializadas como Scanpy, GeoPandas, Scikit-learn, Scikit-GStat y PyKrige, entre otras. Se desarrollará un pipeline reproducible que abarque desde el preprocesamiento de los datos (normalización, filtrado, selección de genes informativos) hasta el análisis multivariante y la visualización interactiva de los resultados. Una parte importante del trabajo será la integración entre datos genómicos y datos espaciales, que requiere combinar formatos de datos biológicos (como matrices de expresión) con estructuras espaciales (coordenadas de spots o regiones del tejido). Para ello se establecerán representaciones adecuadas y estructuras de datos eficientes, permitiendo una exploración fluida tanto cuantitativa como visual. El resultado final incluirá la creación de una aplicación o conjunto de notebooks que permitan visualizar los resultados de los análisis en forma de mapas espaciales interactivos, gráficos de componentes principales, mapas de clústeres y superficies interpoladas mediante kriging. Este desarrollo buscará no solo facilitar la interpretación biológica de los datos, sino también poner a disposición herramientas reutilizables para análisis similares en otros tejidos u organismos. Finalmente, se discutirá el potencial de estas técnicas en contextos biomédicos, como la identificación de regiones genómicas implicadas en enfermedades, el estudio de la heterogeneidad celular en cáncer, etc., destacando el valor del enfoque estadístico espacial en la era de la biología de datos.
Actividades que desarrollar
Revisión bibliográfica sobre conceptos, técnicas y estructuras de datos genómicos.
Revisión bibliográfica sobre conceptos, elementos y técnicas de la estadística multivariante.
Profundización en las distintas metodologías y estrategias inherentes al análisis multivariante.
Revisión bibliográfica sobre conceptos, elementos y técnicas relacionadas con la estadística espacial.
Profundización en los aspectos formales de la estadística espacial: semivariograma, función de covarianza, estacionariedad, isotropía, kriging, etc.
Ilustración con datos reales, en el contexto aplicado de los datos genómicos, del uso de algunas de las metodologías/estrategias y desarrollo de procedimientos computacionales relacionados.
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