En el estudio de fenómenos dinámicos, esto es, que se desarrollan atendiendo a una variable indexada, es habitual que los sistemas considerados evolucionen de acuerdo a leyes no determinísticas, es decir, de carácter aleatorio. En consecuencia, la evolución del sistema se describe mediante sucesiones o colecciones de variables aleatorias, lo cual da lugar al concepto de Proceso Estocástico.
La Teoría de Procesos Estocásticos es muy extensa. Atendiendo al conjunto de índices en el que stá indexado el proceso y al conjunto donde toma valores el proceso existen diverso tipos. En esta línea de trabajo nos centraremos principalmente en los denominados Procesos de Difusión, que son hoy día muy utilizados en la modelización de fenómenos dinámicos que abarcan una amplia gama de campos de aplicación. Por ejemplo en Economía (evolución de índices de la bolsa, tasas de interés, índices de precios), en el estudio de recursos energéticos (evolución de la producción de petróleo, minerales, problemas medioambientales asociados), epidemiología (evolución de pandemias), medicina (estudio de tumores, células madre, proliferación celular en general), explotaciones agrícolas y ganaderas,…
Si bien se recomienda haber cursado la asignatura de Procesos estocásticos, en el trabajo que se desarrollará dentro de esta línea se realizará una breve síntesis de nociones básicas interesantes de la teoría general así como la asociada a los procesos de difusión. En concreto, se profundizará en métodos de obtención de las distribuciones asociadas y cálculo de características de interés en aplicaciones prácticas. La aproximación a esta clase de procesos se realizará tanto desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales de Kolmogorov como desde las ecuaciones diferenciales estocásticas. Con la vista puesta en las aplicaciones se abordará el problema general de inferencia en procesos y se particularizará al caso de procesos de Markov (de los cuales los de difusión son un caso particular), considerando el caso de muestreo discreto de las trayectorias y abordando el problema mediante máxima verosimilitud.
El proceso de Wiener, que ha motivado gran parte de la teoría sobre difusiones, es origen de muchos otros procesos cuya característica es que las distribuciones asociadas son normales y que conforman la clase de procesos gaussianos, cuyo estudio es fundamental por el gran abanico de procesos que incluye. Dentro de ellos merecen especial interés los procesos de Gauss-Markov y aquellos que cumplan las condiciones para ser procesos de difusión.
Esta breve introducción plantea las ideas centrales sobre las que se basan las dos líneas de investigación concretas que proponemos a continuación.
El crecimiento es una importante característica en muchos campos de aplicación. El estudio de este fenómeno se asoció originariamente con la evolución de poblaciones animales, si bien actualmente se considera en múltiples contextos como Economía, Biología, Ecología, Ciencias Medioambientales,… Por este motivo se han realizado múltiples esfuerzos conducentes a la obtención de modelos que permitan describir este tipo de comportamientos. En este trabajo se propone al alumno una metodología de trabajo encaminada a la modelización de fenómenos de crecimiento mediante procesos de difusión, la cual puede ser extendida a múltiples situaciones de esta naturaleza para abordar aplicaciones prácticas concretas. Se considerará una curva de crecimiento concreta para la aplicación de esta metodología.
Dentro de la Teoría de Procesos Estocásticos merece especial atención la clase de procesos Gaussianos, caracterizados porque las distribuciones finito-dimensionales son normales multivariantes, lo cual conlleva que gran parte de su estudio pueda enlazarse con los desarrollos propios de la distribución normal en el ámbito del Análisis Multivariante. Además, hay que tener en cuenta que un buen número de procesos estocásticos de gran importancia teórica-práctica pertenecen a esta clase. Tal es el caso del Proceso Wiener (que modeliza el movimiento Browiano), el Ornstein-Uhlenbeck o el proceso puente Browniano. En este trabajo el alumno desarrollará los principales aspectos particulares de los procesos gaussianos, relacionándolos con otras clases de procesos como los de Markov. Asimismo, estudiará algunos de los procesos típicos, como los tres mencionados anteriormente. En este trabajo serán de gran utilidad los conocimientos adquiridos por el alumno en las asignaturas de Procesos Estocásticos y Análisis Multivariante.