TFG(Re)Search Investigación en Matemáticas

Análisis numérico y teórico de modelos micro y mesoscópicos en teoría cinética y biología

Profesores implicados:

  • María J. Cáceres Granados (Profesora titular del Departamento Matemática Aplicada) -José A. Cañizo Rincón (Profesor titular del Departamento Matemática Aplicada)
  • Alejandro Ramos Lora (Contratado FPI del Departamento de Matemática Aplicada)
  • Pedro González Rodelas (Profesor titular del Departamento Matemática Aplicada)
  • José Miguel Mantas Ruiz (Profesor titular del Departamento Lenguajes y Sistemas Informáticos)
  • Niccoló Tassi (Personal Investigador Predoctoral en Formación del Departamento Matemática Aplicada)

Fuera de la UGR: José Antonio Carrillo de la Plata (Mathematical Institute, Oxford University), Francesco Vecil (Université Clermont Auvergne) y Havva Yoldas (Delft Institute of Applied Mathematics,Delft University of Technology)

Breve descripción

Nuestra investigación se centra en el estudio, analítico y numérico, de diferentes modelos matemáticos con estructura y técnicas de análisis comunes:

  1. Modelos de poblaciones neuronales.
  2. Modelos en teoría cinética.
  3. Modelos de reacción, difusión y advección.

Todos estos modelos se pueden derivar a partir del comportamiento individual de las partículas o unidades que forman el sistema que consideramos: electrones en el caso de dispositivos semiconductores; células o neuronas en el caso de modelos obtenidos por hipótesis fenomenológicas en biología; moléculas o agregados en el caso de procesos de cambio de fase o cristalización; individuos de una especie dada en el caso de comportamiento colectivo. Una familia importante de modelos de este tipo comprende ecuaciones en derivadas parciales e integrodiferenciales, generalmente con términos no locales, normalmente en la variable espacial. Algunos rasgos fundamentales de estos modelos provienen del campo de las ecuaciones cinéticas, de forma que hay técnicas matemáticas generales que encuentran aplicación en varios de estos modelos.

Descripción de líneas

  1. Modelos de poblaciones neuronales que describen la actividad eléctrica de un número grande de neuronas. Concretamente trabajamos con modelos basados en EDPs (modelos meso/macroscópicos), pero también estamos trabajando recientemente en entender mejor los modelos microscópicos, mediante simulaciones numéricas.
  2. Modelos en teoría cinética. En particular, modelos de comportamiento colectivo; procesos de coagulación y fragmentación, aplicados en modelos de poblaciones celulares y procesos de cambio de fase en física; y ecuaciones que describen el comportamiento de dispositivos semiconductores. Todos ellos son modelos basados en ecuaciones en derivadas parciales, algunos de los cuales también estudiamos desde el punto de vista microscópico.
  3. Modelos de reacción, difusión y advección, descritos por ecuaciones en derivadas parciales fundamentales en multitud de procesos físicos.

Tipologías posibles

  • Complemento de profundización
  • Divulgación de las Matemáticas
  • Docencia e innovación
  • Iniciación a la investigación

Bibliografía

Algunos de nuestros artículos más recientes son:

Neurociencia computational

  1. Torres, N, Cáceres, M.J., Perthame, B., Salort, D. An elapsed time model for strongly coupled inhibitory and excitatory neural networks, Physica D: Nonlinear Phenomena: 132977, 2021.
  2. Cáceres, M.J., Ramos-Lora, A. An understanding of the physical solutions and the blow-up phenomenon for Nonlinear Noisy Leaky Integrate and Fire neuronal models. Commun. Comput. Phys., 30, 820-850, 2021. 3.José A. Cañizo and Havva Yoldaş. Asymptotic behaviour of neuron population models structured by elapsed-time, Nonlinearity 32(2):464, 2019
  3. Cáceres, M. J., Roux, P., Schneider, R., Salort D. Global-in-time solutions and qualitative properties for the NNLIF neuron model with synaptic delay. Commun. in Partial Diff. Eqs., 2019, vol. 44, no 12, 1358-1386, 2019. Cáceres, María J., Schneider, Ricarda, Analysis and numerical solver for excitatory-inhibitory networks with delay and refractory periods. ESAIM: M2AN, 52(5),1733-1761. 2018. 6.Cáceres, M. J. y Schneider, R. Blow-up, steady states and long time behaviour of excitatory-inhibitory nonlinear neuron models. Kinetic and Related Models, 10(3):587–612, 2017.
  4. Chevallier, J., Cáceres, M. J., Doumic, M., y Reynaud-Bouret, P. Microscopic approach of a time elapsed neural model. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 25(14):2669–2719, 2015.
  5. Carrillo, J. A., d. M. González, M., Gualdani, M. P., y Schonbek, M. E. Classical solutions for a non-linear Fokker-Planck equation arising in computational neuroscience. Comm. in Partial Differential Equations, 38(3):385–409, 2013.
  6. Cáceres, M. J., Carrillo, J. A., y Perthame, B. Analysis of nonlinear noisy integrate&fire neuron models: blow-up and steady states. The Journal of Mathematical Neuroscience, 1(1):1–33, 2011.
  7. Cáceres, M. J., Carrillo, J. A., y Tao, L. A numerical solver for a nonlinear Fokker-Planck equation representation of neuronal network dynamics. J. Comp. Phys., 230:1084–1099, 2011.

Models of coagulation and fragmentation type

  1. José A. Cañizo and Sebastian Throm. The scaling hypothesis for Smoluchowski’s coagulation equation with bounded perturbations of the constant kernel. Journal of Differential Equations 270:285-342, 2021.
  2. José A. Cañizo, Pierre Gabriel and Havva Yoldaş. Spectral gap for the growth- fragmentation equation via Harris’s Theorem. SIAM J. Math. Anal., 53(5), 5185–5214, 2021.
  3. Cáceres, M. J., Cañizo, J. A., Mischler, S. Rate of convergence to an asymptotic profile for the self-similar fragmentation and growth-fragmentation equations. J. de math. pure et app. 96(4), 334-362, 2011.

Collective behaviour models

  1. José A. Cañizo and Francesco Patacchini. Discrete minimisers are close to continuum minimisers for the interaction energy, Calculus of Variations & PDE 57(24), 2018.
  2. Alethea B. T. Barbaro, José A. Cañizo, José A. Carrillo and Pierre Degond. Phase transitions in a kinetic flocking model of Cucker-Smale type. Multiscale Modelling and Simulation 14(3):1063–1088, 2016.
  3. J. A. Cañizo, J. A. Carrillo and F. S. Patacchini. Existence of Compactly Supported Global Minimisers for the Interaction Energy. Archive for Rational Mechanics and Analysis 217(3):1197–1217, 2015.

Semiconductor Devices

  1. Mantas, J. M., & Vecil, F. Hybrid OpenMP-CUDA parallel implementation of a deterministic solver for ultrashort DG-MOSFETs. The international journal of high performance computing applications, 34(1), 81-102, 2020.
  2. Vecil, F., Mantas, J. M., Cáceres, M. J., Sampedro, C., Godoy, A., y Gámiz, F. A parallel deterministic solver for the schrödinger–poisson–boltzmann system in ultra-short dg-mosfets: Comparison with Monte-Carlo. Computers & Mathematics with Applications, 67(9):1703–1721, 2014. 3.Abdallah, N. B., Cáceres, M. J., Carrillo, J. A., & Vecil, F. A deterministic solver for a hybrid quantum-classical transport model in nanoMOSFETs. Journal of Computational Physics, 228(17), 6553-6571, 2009.