Polinomios ortogonales y aplicaciones

Profesores implicados

Antonia M. Delgado, Lidia Fernández, Clotilde Martínez, Teresa E. Pérez, Miguel Piñar, Joaquín F. Sánchez Lara. Grupo en Ortogonalidad y Aplicaciones (FQM 384 - GOYA)

Breve descripción

Los polinomios ortogonales en el sentido más clásico vienen definidos de la siguiente forma. Dado un peso $w$ (una función positiva) soportado en un conjunto $I$ de la recta real, existe una familia de polinomios ${p_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ tales que cada $p_{n}$ es de grado $n$ y

\int_{I} x^{k} p_{n} (x) w (x) d x {\begin{cases} = 0, si k < n, \\ \neq 0, si k = n . \end{cases}

Estos polinomios presentan gran riqueza de propiedades y aplicaciones debido a sus múltiples relaciones con diferentes ramas de las matemáticas. Entre estas propiedades podemos contar con las relacionadas con espacios de Hilbert, relaciones de recurrencia, relaciones con matrices con estructura, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, propiedades electrostáticas de los ceros de los polinomios, propiedades asintóticas, etc. Esto a su vez provoca que aparezcan en una gran variedad de aplicaciones, como en teoría de aproximación, fórmulas de cuadratura, física matemática (soluciones de la ecuación de Schrödinger), procesos estocásticos, modelización de sistemas, etc.

Pero el sentido de la ortogonalidad que presentan estos polinomios es ampliable a otros muchos contextos. Se pueden considerar ortogonalidades respecto a medidas discretas, respecto a medidas no positivas, medidas soportadas en el plano complejo, ortogonalidades que incluyan a las derivadas de los polinomios, ortogonalidades variantes (el peso también depende de $n$ ), polinomios matriciales,…y polinomios ortogonales en varias variables (en el que parte del grupo lleva realizando una gran actividad en los últimos años).

Descripción de líneas

Línea 1: Polinomios ortogonales clásicos

Estos polinomios están caracterizados por ser soluciones de una ecuación diferencial lineal

A y^{″} + B y^{'} + λ_{n} y = 0,

donde $A$ y $B$ son polinomios de grado a lo sumo $2$ y $1$ respectivamente y $λ_{n}$ es una constante dependiente del grado $n$ . Estos polinomios han sido ampliamente estudiados por lo que se conocen bastante bien sus propiedades.

Línea 2: Polinomios ortogonales clásicos en varias variables

Estos polinomios son una extensión de los polinomios ortogonales clásicos llevada al contexto de polinomios en varias variables.

Línea 3: Redes de Toda y polinomios ortogonales

Una red de Toda es un sistema dinámico para un sistema finito o infinito de partículas cuya posición viene dada por $\dots, x_{n - 1} < x_{n} < x_{n + 1} < \dots$ y cuyo movimiento se rige por la ecuación difero-diferencial

x_{n}^{″} = e^{x_{n - 1} - x_{n}} - e^{x_{n} - x_{n + 1}},

donde $x^{″}$ se refiere a la derivada segunda respecto del tiempo. Dicho de otro modo, la aceleración con la que se mueve una partícula depende de la posición de esa partícula respecto a las dos que tiene inmediatamente a izquierda y derecha. Las soluciones de este sistema dinámico están íntimamente ligadas con los polinomios ortogonales $p_{n} (x; t)$ respecto a un peso de la forma $e^{t x} w (x)$ siendo $t$ el tiempo y más en concreto con los coeficientes de la relación de recurrencia que satisfacen dichos polinomios ortogonales

x p_{n} (x : t) = p_{n + 1} (x; t) + b_{n} (t) p_{n} (x; t) + a_{n}^{2} (t) p_{n - 1} (x; t) .

Línea 4: Polinomios ortogonales en el simplex

Se trata de polinomios ortogonales en varias variables en el caso de que el peso de ortogonalidad esté soportado en el simplex $T^{d}$

T^{d} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{d}) \in R^{d} : x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, \dots, x_{d} \geq 0, x_{1} + x_{2} + \dots + x_{d} \leq 1} .

Usualmente se escogen pesos de la forma

w (x) = x_{1}^{α_{1}} x_{2}^{α_{2}} \dots x_{d}^{α_{d}} (1 - | x_{1} + x_{2} + \dots + x_{d} |)^{α_{d + 1}},

lo que lleva a poder encontrar bases ortogonales de polinomios expresadas en términos de los polinomios de Jacobi univariados.

Línea 5: Polinomios de Zernike

Los polinomios de Zernike son una familia de polinomios en 2 variables que son ortogonales en el disco ${(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} \leq 1}$ respecto al peso $w (x, y) = 1$ . Estos polinomios son usados como un estándar en óptica debido a que los coeficientes de las series de Fourier que aparecen al usar esta base, describen las diferentes aberraciones ópticas (astigmatismo, coma, defocus, trefoil, …) que puede tener un ojo o cualquier otro dispositivo óptico.

Línea 6: Interpretación electrostática de raíces de polinomios ortogonales

La disposición que adoptan los ceros de un polinomio ortogonal (univariado) sugiere que se localizan de forma que tratan de maximizar en cierto sentido las distancias que los separan entre sí. En algunos casos se puede dar una descripción de estás raíces a través de un modelo electrostático en el que los ceros de los polinomios se corresponden con cargas eléctricas unitarias que, aún teniendo libertad para moverse libremente por la recta real o el plano complejo, permanecen en una posición de equilibrio. A través de esta relación se pueden dar múltiples propiedades sobre el comportamiento que puedan tener las raíces de los polinomios ortogonales.

Enlaces de interés

Página del grupo de investigación

Página de la Red a la que pertenece el grupo

Tipologías posibles

Complemento de profundización
Iniciación a la investigación

Bibliografía (para profundizar un poco)

T. S. Chihara, An Introduction to Ortghogonal Polynomials, Gordon and Breach, New York, 1977.
C. F. Dunkl, Y. Xu, Orthogonal Polynomials of Several Variables, 2nd edition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 155. Cambridge University Press, Cambridge (2014).
G. Szegö, Orthogonal Polynomials, fourth ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1975.

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