Luis M. Merino González
Gabriel Navarro Garulo
Evangelina Santos Aláez
Dado un conjunto $X$ no vacío, un subconjunto suyo está determinado por su aplicación característica que tiene por codominio al conjunto {0,1}. En su trabajo de 1965 Zadeh propone considerar como subconjuntos difusos todas las aplicaciones de X en el intervalo $[0,1]$. Esta extensión está relacionada con la consideración de términos lingüísticos para los que la asignación de verdad/falsedad es imprecisa: ¿es alto alguien que mide 178cm? A partir de este trabajo el interés por los conjuntos difusos crece de forma exponencial y surgen disitntas líneas de trabajo, unas más cercanas a la lógica (lógica difusa) y otras que investigan las posibles aplicaciones prácticas.
El concepto de Zadeh ha sido extendido tomando codominios diferentes: el conjunto de los subintervalos cerrados de $[0,1]$ (Interval valued fuzzy sets), subconjuntos finitos de $[0,1]$ (Typical Hesitant fuzzy sets), $[0,1]^{[0,1]}$ (Type 2 fuzzy sets) o un retículo L (L-fuzzy sets). Por otro lado han aparecido otros conceptos estrechamente relacionados como el de conjuntos graduales (Dubois-Prade). Es interesante observar cuáles son las conexiones entre todos estos conceptos.
Para establecer una relación de orden entre los conjuntos difusos se utiliza el que heredan del usual en $[0,1]$, sin embargo al extender las nociones de conjuntos difusos a otros codominios no se dispone de un orden usual. Por ejemplo en los subintervalos cerrados de $[0,1]$ es posible definir distintos órdenes compatibles con el orden en los reales; algunos de estos órdenes dotan de estructura de retículo, otros le confieren estructura de cadena (órdenes admisibles). En otros codominios aún hay diferentes propuestas, de especial interés es el de subconjuntos finitos de $[0,1]$ o el de las partes no vacías de $[0,1]$. El establecimiento de estos órdenes es de interés, por ejemplo, para aplicaciones en el ámbito de toma de decisiones (decision making).
Las nociones de negaciones, t-normas y t-conormas en el intervalo $[0,1]$ y su estudio forman parte del conocimiento establecido en la literatura, sin embargo las extensiones de estos conceptos han sido acometidas en casos particulares. Recientemente han aparecido intentos de inducir operadores partiendo de los conocidos y mediante construcciones algebraicas. Estas técnicas pueden aplicarse tanto a t-normas y t-conormas como a otros tipos de operadores.
J.A Goguen, L-fuzzy sets, Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 (1) (1967), 145–174
P. Jara, L. Merino, G. Navarro and E. Santos, “A lattice structure on hesitant fuzzy sets,” in IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2022, https://doi.org/10.1109/TFUZZ.2022.3217400
M. Matzenauer, B. Bedregal, R. Reiser, H. Bustince, H. Santos, Strategies on admissible total orders over typical hesitant fuzzy implications applied to decision making problems, International Journal of Intelligent Systems, https://doi.org/10.1002/int.22374
L. Merino, G. Navarro, E. Santos, “Induced operators on bounded lattices”, Information Sciences, Volume 608, 2022, Pages 114-136, https://doi.org/10.1016/j.ins.2022.06.033
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