Ecuaciones en Derivadas Parciales en Física y Geometría
Profesores implicados
Tipologías posibles
- Complemento de profundización
- Iniciación a la investigación
Breve descripción
Muchos problemas en Física y Geometría pueden modelarse mediante una Ecuación en Derivadas Parciales. En el estudio de estas se pueden usar métodos topológicos y también métodos variacionales, como la búsqueda de mínimos (o, más en general, puntos críticos) de un funcional de energía. En el uso de estos métodos resulta imprescindible conocer las técnicas de Análisis Funcional. En ocasiones, el origen físico o geométrico de las ecuaciones puede ayudar a su estudio matemático. Nuestra investigación se encuentra en la confluencia de todos estos ámbitos de la ciencia.
Descripción de líneas
Línea 1. Problemas de la Física Matemática
En esta línea se propone el estudio de distintas ecuaciones de la física matemática, como las ecuaciones de Born-Infeld (relacionadas con la prescripción de curvatura media en espacios de Minkowski), las ecuaciones de Gross-Pitaevskii, etc. El enfoque es fundamentalmente variacional, y se buscan puntos críticos (de tipo saddle) del funcional de energía adecuado. Dicho funcional a veces tiene en cuenta cantidades físicas del problema (momento, energía).
Línea 2. Ecuaciones con fronteras libres
En muchos ámbitos las incógnitas no son solo las funciones correspondientes, sino también su dominio de definición. Estos casos se conocen como problemas de frontera libre. La frontera es una hipersuperficie, y sus propiedades geométricas dependen de la Ecuación en Derivadas Parciales que estemos tratando. En estos problemas, argumentos geométricos y técnicas de EDPs se unen para dar lugar a resultados de rigidez. A veces, los métodos topológicos son útiles para demostrar la existencia de soluciones no triviales.
Línea 3. Prescripción de curvatura en una superficie
Un problema clásico en Geometría es cómo cambiar la métrica de una superficie para que su curvatura gaussiana sea una función dada. Este problema da lugar a una EDP elíptica en la superficie, que a su vez puede ser estudiada con técnicas variacionales. En esas cuestiones confluyen desigualdades geométricas, técnicas de EDPs, Cálculo de Variaciones, etc.