Análisis geométrico
Profesores implicados
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Tipologías posibles
- Complemento de profundización
- Docencia e innovación
- Iniciación a la investigación
Breve descripción
El Análisis Geométrico es un campo de la Matemática Pura que se encuentra en la interacción entre la Geometrı́a y las EDPs y tiene aplicaciones a varias ramas de la Matemática, como la Geometrı́a Riemanniana, la Topologı́a y el Análisis Complejo, ası́ como la Relatividad General, Cristalografı́a, Ciencia de Materiales, Arquitectura, etc.
Descripción de líneas
Línea 1: Superficies mínimas en variedades riemannianas
Las superficies mínimas son puntos críticos del funcional área. Su estudio cae en la intersección entre el Cálculo de Variaciones, las EDPs elípticas, la Teoría Geométrica de la Medida y el Análisis Complejo. Esta teoría produce métodos con gran aplicación en Análisis Geométrico. Aunque es una teoría ya clásica, sigue siendo de gran actividad en investigación en la actualidad, como puede verse en la gran cantidad de artículos de investigación de primer nivel que se publican cada año. Recientemente, también estamos estudiando aplicaciones de superficies mínimas en arquitectura.
Línea 2: Superficies con curvatura media constante y curvatura prescrita
Como generalización de la teoría de superficies mínimas nos encontramos con aquellas cuya curvatura media es constante (no necesariamente nula) o, más generalmente, está dada por una cierta función. En esta teoría es interesante tanto la construcción de nuevos ejemplos como la clasificación de superficies que tiene, además, una cierta topología o un comportamiento de sus finales, entre otros. En esta línea, nuestro grupo estudia lo siguiente:
- Superficies con curvatura media constante en espacios euclídeos y en espacios homogéneos, in cluyendo las superficies de Bryant
- Superficies con curvatura media constante en espaciosde Lie métricos
- Superficies con curvatura media o curvatura de Gauss prescrita
- Superficies invariantes que evolucionan por binormales de curvas elásticas
Línea 3: Flujos por la curvatura media
El flujo por la curvatura media es un proceso por el cual una subvariedad de un cierto espacio ambiente se puede deformar en la dirección de su vector curvatura media (que no es otra cosa que la aplicación de Gauss multiplicada por la curvatura media). Ésta es la dirección en la que el volumen decrece más rápidamente. Este flujo tiene importantes aplicaciones en Física, Óptica y en el proceso de imágenes.
Línea 4: Problemas elípticos sobredeterminados
En Física, entre otros campos, aparecen con frecuencia problemas en los que se necesitan soluciones de ciertas EPDs elípticas en las que se deben cumplir condiciones de tipo Dirichlet y Neumann simultáneamente. Este problema consiste en encontrar qué dominios admiten solución y cómo son dichas soluciones. Este problema ha resultado tener similitud con la teoría de superficies con curvatura media constante, que ha permitido estudiarlo en muchos casos.